Teorija

6. Tjedan

• Funkcije, Limes funkcije

---

1. Funkcije realne varijable

1.1. Definicija funkcije

Funkcija $f$ realne varijable jest preslikavanje koje svakom realnom broju $x$ iz domene $D\subset \mathbb{R}$ pridružuje jedan i samo jedan realni broj $y=f(x)$. Formalno:

$$f: D \to \mathbb{R},\quad x \mapsto f(x).$$

Primjer:

• $f(x)=\sin x$, domena $D=\mathbb{R}$, kodomena $\mathbb{R}$, ali vrijednosti su u $[-1,1]$.

1.2. Načini zadavanja funkcija

1.2.1. Tablično zadavanje

• Funkcija se zadaje tablicom vrijednosti (diskretnih).
• Koristi se kod eksperimentalnih podataka ili numeričkih mjerenja.

Primjer:

$$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 3.5 \\ \dots & \dots \end{array}$$

1.2.2. Eksplicitno zadavanje

• Najčešći: formula $y=f(x)$ u eksplicitnom obliku.
• Primjer: $f(x)= x^2 + 1$.

1.2.3. Implicitno zadavanje

• Funkcija opisana jednadžbom koju treba riješiti po $y$, npr. $F(x,y)=0.$
• Primjer: $x^2 + y^2=1.$ Implicitno definiramo $y=\pm\sqrt{1 - x^2}$ (krug).

1.2.4. Parametarsko zadavanje

• Uvodi se parametar $t$: $\begin{cases} x=g(t) \\ y=h(t)\end{cases}$.
• Primjeri: jednadžbe krivulja (elipsa, cikloida...).

---

1.3. Vrste funkcija

1.3.1. Surjekcija, injekcija i bijekcija

1. Injekcija: različiti argumenti daju različite vrijednosti (nema “sljepljivanja”).
2. Surjekcija: pokriva cijelu kodomenu.
3. Bijekcija: istodobno injekcija + surjekcija → ima inverznu funkciju na cijeloj kodomeni.

1.3.2. Omedene i neomedene funkcije

• Omedena: postoji konačna granica za $|f(x)|$.
• Neomedena: raste iznad svih granica ili pada ispod.

Primjer: $\sin x$ je omeđena u $[-1,1]$, dok $x^2$ nije (na beskonačnom intervalu).

1.3.3. Parne i neparne funkcije

• Parna: $f(-x)= f(x)$. Simetrična oko $y$-osi.
• Neparna: $f(-x)= -f(x)$. Simetrija oko ishodišta.

Primjer: $\cos x$ parna, $\sin x$ neparna.

1.3.4. Monotone funkcije

• Monotono rastuća: $x_1 < x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2)$.
• Monotono padajuća: obrnuto.
• Može biti strogo monotona ili nestrogo.

1.3.5. Periodične funkcije

• Periodična: postoji $T\neq0$ takav da $f(x+T)= f(x)$.
• Primjeri: $\sin x, \cos x$ s periodom $2\pi$.

---

1.4. Inverzna funkcija

• Ako je $f$ bijektivna na domeni $D$, postoji inverzna $f^{-1}$ takva da $f^{-1}(f(x))=x$ i $f(f^{-1}(y))=y.$
• Primjer: $f(x)= e^x$ je bijektivna, inverzna je $\ln x$.

---

1.5. Kompozicija funkcija

• Kompozicija: $(f\circ g)(x)= f\bigl(g(x)\bigr).$
• Potrebno paziti na domena i kodomena.

Primjer: $f(x)= x^2, g(x)= \sin x.$ Tada $(f\circ g)(x)= (\sin x)^2.$

---

2. Limesi funkcija

2.1. Osnovni koncept limesa

2.1.1. Limes kad $x\to\infty$

• $\lim_{x\to\infty}f(x)= L$ znači da se $f(x)$ približava $L$ kako $x$ raste neograničeno.

2.1.2. Limes kad $x\to x_0$

• $\lim_{x\to x_0} f(x)= L$ – standardna $\varepsilon$-$\delta$ definicija.

2.1.3. Limesi prema $\pm\infty$

• Moguće da $\lim_{x\to a} f(x)= \pm\infty$, tada kažemo $f(x)$ divergirà.

---

2.2. Precizna definicija limesa

2.2.1. Epsilon-delta definicija

• Za $\lim_{x\to x_0} f(x)= L$, formalno: $$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0:\ \forall x,\ \bigl|x-x_0\bigr|<\delta \implies \bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.$$

2.2.2. Specijalni slučajevi limesa

• $\lim_{x\to x_0} f(x)= \pm\infty$.
• $\lim_{x\to\infty} f(x)= L$ itd.

---

2.3. Veza limesa s algebarskim operacijama

• Zbroj i razlika: $\lim(f+g)= \lim f+ \lim g$.
• Produkt: $\lim(f\cdot g)= \lim f\cdot \lim g$.
• Kvocijent: $\lim(\tfrac{f}{g})= \tfrac{\lim f}{\lim g}$ ako $\lim g\neq0$.
• Potencije i eksponentni limesi: npr. $\lim_{x\to a} (f(x))^{g(x)}$ zahtijeva log transformacije ili standardne forme.

---

2.4. Neodređeni oblici limesa

2.4.1. Tipovi neodređenih oblika

• $0/0,\ \infty/\infty,\ 0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^\infty,\dots$

2.4.2. Rješavanje pomoću L'Hospitalovog pravila

• Ako je $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ tipa $0/0$ ili $\infty/\infty$, možemo pokušati $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, uz uvjete.

Primjer: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ (poznato i bez L'Hopital, ali L'Hopital pomaže.)

Lekcija: Asimptote funkcija — horizontalne, vertikalne i kose

U ovoj lekciji usredotočit ćemo se samo na asimptote funkcija: horizontalne, vertikalne i kose. Objavit ćemo definicije, način kako ih pronaći te pokazati primjere. Ovaj je tekst sveučilišne razine, a zapis koristimo u obliku MD/MDX s KaTeX.

---

Uvod u asimptote

Asimptota neke funkcije $f(x)$ jest pravac $y=ax+b$ ili okomita pravac $x=c$ takav da se graf funkcije približava tom pravcu u beskonačnosti ili u nekoj točki. Razlikujemo:

1. Vertikalna asimptota: obično nastaje kad se funkcija “ruši” u $\pm\infty$ pri određenom $x=c$.
2. Horizontalna asimptota: kada se funkcija približava nekom $y=L$ dok $x\to\pm\infty$.
3. Kosa (kosa = “ukoso”) asimptota: pravac $y=ax + b$ takav da $f(x)$ od njega ne odstupa previše pri velikom $|x|$.

---

3. Vertikalna asimptota

3.1. Definicija i objašnjenje

Vertikalnu asimptotu imamo kod $x=c$ ako se $f(x)$ “raspada” na $\pm\infty$ kad se $x$ približava $c$. Formalno:

$$\lim_{x\to c^{\pm}} f(x) = \pm\infty.$$

Grafički, pravac $x=c$ je okomita linija. Funkcija se “penje” ili “spušta” beskonačno blizu te linije.

3.2. Proces pronalaženja

• Najčešće: pogleda se denominatore i nultočke denominatora — ako $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$, i $h(c)=0$ dok $g(c)\neq0$, to često daje vertikalnu asimptotu.
• Ispitati $\lim_{x\to c}f(x)$: ako je $\pm\infty$, tada $x=c$ jest vertikalna asimptota.

3.3. Primjer

Primjer 1: $f(x)= \frac{1}{x-3}$.

• Očito, $x=3$ izaziva problem (denominator 0).
• $\lim_{x\to3^+}\tfrac1{x-3}= +\infty, \lim_{x\to3^-}\tfrac1{x-3}= -\infty.$
• Zaključak: Vertikalna asimptota je $x=3$.

---

3.1 Horizontalna asimptota

3.1.1 Definicija i objašnjenje

Horizontalna asimptota je pravac $y=L$ ako funkcija “odlazi” na $L$ kad $x\to\pm\infty$. Dakle,

$$\lim_{x\to \infty}f(x)=L \quad\text{ili}\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=L.$$

3.1.2. Proces pronalaženja

• Najčešće: Ako $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ (omjer polinoma), gledamo stupnjeve polinoma:
  • Ako stupanj brojnik < stupanj nazivnik, onda $L=0$ je horizontalna asimptota.
  • Ako su stupnjevi jednaki, asimptota je $L= \frac{\text{koef. vodeći brojnik}}{\text{koef. vodeći nazivnik}}$.
  • Ako je stupanj brojnik > nazivnik, nema horizontalne (može postojati kosa).

3.1.3. Primjer

Primjer 2: $f(x)= \frac{2x^2+1}{x^2 -3}.$

• Za $x\to\pm \infty$, odnosi se vodeći članovi: $\frac{2x^2}{x^2}=2.$
• Dakle: $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2.$
• Horizontalna asimptota: $y=2.$

---

3.2. Kosa asimptota

3.2.1. Definicija i objašnjenje

Kosa (“ukosa”) asimptota je pravac $y=ax+b$ takav da

$$\lim_{x\to\pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0.$$

Grafički, to znači da funkcija “prati” pravac $ax+b$ kad $x$ raste do beskonačnosti (ili silazi do -beskonačnosti).

3.2.2. Proces pronalaženja

Za $f(x)$ (osobito ako je “polinom/polinom”):

1. Podijelimo polinom (ili izvršimo ekvivalentnu proceduru) da dobijemo: $f(x)= a x + b + \frac{\dots}{\dots}$.
2. Ako “ostatak” ide 0 pri $x\to\infty$, asimptota je $y=ax+b$.

Mjera: $a= \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ i $b= \lim_{x\to\infty}[f(x)-a\,x]$, ako te granice postoje.

3.2.3. Primjer

Primjer 3: $f(x)= \frac{2x^2+3x+1}{x-1}.$

1. Djeljenje: $\frac{2x^2+3x+1}{x-1}= 2x+5 + \frac{6}{x-1}.$
2. Za $x\to\infty$, $\frac{6}{x-1}\to0,$ pa $f(x)\approx 2x+5.$
3. Kosa asimptota: $y=2x+5.$

---

Primjeri zadataka

Zadatak 1: Provjera parne funkcije

Tekst: Ispitajte je li $f(x)= x^2 +1$ parna, neparna ili ništa od toga.

Rješenje:

• $f(-x)= (-x)^2+1= x^2+1= f(x).$
• Dakle, parna.

---

Zadatak 2: Limes s polinomom i eksponencijalom

Tekst: Naći $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{e^x}$.

Rješenje (korak):

1. Intuitivno, $e^x$ raste brže nego $x^3$.
2. Možemo primijeniti L'Hospital 3 puta ili koristiti eksponencijalnu dominaciju.
3. Rezultat $0.$

---

Zadatak 3: L'Hospital na $0/0$

Tekst: $\lim_{x\to0} \frac{\sin x - x}{x^3}$.

Rješenje (skraćeno):

1. Kod $x=0$, brojnik $\sin0-0=0,$ nazivnik$=0.$ – $0/0$.
2. L'Hopital (3 puta) ili Taylor ekspanzije: $\sin x= x-\frac{x^3}{6}+\dots$.
3. $\sin x- x\approx -\tfrac{x^3}{6}.$
   Dakle $\frac{-x^3/6}{x^3}= -\tfrac16.$

---

Zadatak 4: Inverzna funkcija

Tekst: Neka $f(x)=3x+2$ na $\mathbb{R}.$ Naći $f^{-1}(y).$

Rješenje:

• Riješiti $y=3x+2 \implies x=\tfrac{y-2}{3}.$
• $f^{-1}(y)= \tfrac{y-2}{3}.$

---

Zadatak 5: Alternirani limes (na red) - prelazak iz definicije funkcije

Tekst: Neka $a_n=(-1)^n \tfrac1n$. Ispitajte $\lim_{n\to\infty} a_n$ i je li $a_n$ parna/neparna vrsta funkcije od $n$?

Rješenje (skraćeno)**:

1. $\lim_{n\to\infty}\tfrac{(-1)^n}{n}=0.$
2. $n\mapsto a_{-n}$ nije smisleno za $-n$ (jer n je prirodan), pa “parnost/neparnost” ovdje nije standardna. –Nepotrebno osim ako mislimo na analogiju.

---

Zaključak

• Funkcije realne varijable: definicije, načini zadavanja, tipovi, inverzne i kompozicije.
• Limesi funkcija: $\lim_{x\to x_0} f(x)$ ili $\lim_{x\to\infty} f(x)$ – definicija $\varepsilon$-$\delta$, algebarske operacije, neodređeni oblici. L'Hospital pomaže u $0/0$, $\infty/\infty$ slučajevima.
• U praksi se rabe razne strategije za ispitivanje i račun granica, osobito s polinomima, eksponencijalnim, trigonometrijskim funkcijama i njihovim kombinacijama.
• Vertikalne asimptote nastaju tipično gdje nazivnik ide 0, a brojnik $\neq0$, uz beskonačni limes.
• Horizontalne asimptote: $y=L$ ako $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L.$
• Kose asimptote: $y=ax+b$ ako $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)- (ax+b)]=0.$

Vježbe

zadaci

Ispit

Koji je limes funkcije $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ kada $x \to 2$?

0

2

4

Ne postoji

Koja je horizontalna asimptota funkcije $f(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$?

y = 0

y = 3

y = 1

Nema horizontalne asimptote

Koja je vertikalna asimptota funkcije $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$?

x = 0

x = 2

x = -2

x = 2 i x = -2

Koja je vrijednost funkcije $f(x) = \log_2(x)$ za $x = 8$?

1

2

3

4

Koja je periodičnost funkcije $f(x) = \sin(2x)$?

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

$2\pi$

$4\pi$

Koja je vrijednost limesa $lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$?

1

0

$\infty$

Ne postoji

Koja je funkcija neprekidna na cijelom svom domenu?

$f(x) = \frac{1}{x}$

$f(x) = \tan(x)$

$f(x) = x^2$

$f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Koja je kosa asimptota funkcije $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x}$?

y = x

y = x + 1

y = x + 2

y = x + 3

Koja je vrijednost funkcije $f(x) = 2^x$ za $x = 3$?

4

8

16

32

Koja je funkcija parna?

$f(x) = x^2$

$f(x) = x^3$

$f(x) = \sin(x)$

$f(x) = x + 1$